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Séquence numérique préférée de Mère Nature - Le Fibonacci

Séquence numérique préférée de Mère Nature - Le Fibonacci

La spirale de graines dans une pomme de pin, les fruits d'un ananas. Qu'est-ce qu'ils ont en commun? Ils sont tous deux conformes à la séquence de Fibonacci.

Comme tous ceux qui ont lu le thriller de Dan Brown Le "Da Vinci Code ou vu que le film sait, la séquence de Fibonacci est une séquence de nombres créée en ajoutant deux entiers séquentiels ensemble, en commençant à 0.

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La séquence peut être décrite par l'équation:
Fn = Fn - 1 + Fn - 2,n > 1 donc,
F0 = 0, F1 = 1 et F2 = F1 + F0 = 1.
La séquence de nombres comprenant la séquence de Fibonacci est: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Surnommé Fibonacci

La personne qui a présenté la séquence de Fibonacci au public occidental est Léonard de Pise, qui est né autour de 1170 après J.-C. et est mort autour 1250 après J.-C. Il a ensuite été surnommé Fibonacci, de Filius Bonacci, qui signifie «fils de Bonacci». La séquence avait en fait été déduite par des mathématiciens indiens et arabes mille ans plus tôt.

Dans 1202, Fibonacci a décrit la séquence dans son Liber Abaci ('Book of Calculation'), qui était destiné à être un guide mathématique pour les commerçants, afin qu'ils puissent calculer les profits et les pertes et les soldes des prêts.

Dans Liber Abaci, Fibonacci a introduit la séquence avec un problème impliquant des lapins. Le problème commence avec un lapin mâle et une femelle. Après un mois, ils mûrissent et produisent une portée d'un lapin mâle et d'une femelle. Un mois plus tard, ces lapins se reproduisent et ont une portée d'un lapin mâle et d'une femelle, et ainsi de suite. La question posée par Léonard était la suivante: combien de lapins auriez-vous après un an? La réponse, il s'avère, est 144 - et la formule utilisée pour arriver à cette réponse est ce que l'on appelle maintenant la séquence de Fibonacci.

Carrés et arcs

Au cours du 19ème siècle, les mathématiciens ont recommencé à examiner la séquence de Fibonacci, et ils se sont rendu compte que si vous dessiniez des carrés des nombres de Fibonacci, puis plaçiez les côtés des carrés ensemble, le nouveau côté d'un carré plus grand se formait. Cela peut être répété à l'infini.

Ils se sont alors rendu compte que si vous dessinez des arcs circulaires reliant les coins opposés des carrés, vous obtenez une spirale appelée spirale logarithmique. Cette spirale est vue dans de nombreux phénomènes naturels, comme dans la disposition des feuilles sur une tige ou des graines sur une pomme de pin.

Mais ce n'est pas tout. Les nombres de Fibonacci apparaissent dans toutes sortes d'endroits dans la nature. Certaines fleurs ont 3, 5, 8 ou 13 pétales, où chaque pétale est placé pour permettre une exposition maximale au soleil. Les rangées de graines dans les tournesols et les pommes de pin s'additionnent souvent aux nombres de Fibonacci, car c'est le moyen le plus efficace d'emballer autant de graines que possible dans un petit espace.

Le nombre d'or

Si vous divisez tout Nombre de Fibonacci par celui qui le précède dans la séquence, vous obtenez un rapport d'environ 1.618033..., qui s'appelle le Nombre d'or. À mesure que les nombres de Fibonacci augmentent, le ratio se rapproche encore plus de 1.618. Par exemple, le ratio de 3 à 5 est 1.666, Le rapport de 13 à 21 est 1.625, et le rapport de 144 à 233 est 1.618.

Le nombre d'or se trouve en divisant une ligne en deux parties, une et b, de sorte que la partie la plus longue divisée par la partie la plus petite est également égale à la longueur totale divisée par la partie la plus longue. C'est:

La lettre grecque «phi» représente le nombre d'or, également connu sous le nom de moyenne d'or, section d'or, proportion divine et section divine. Il est 1.6180339887..., un nombre irrationnel qui est également égal à la solution de l'équation quadratique:
X2 - X - 1 = 0, avec une valeur de

Le rectangle d'or est un rectangle dont les côtés sont des nombres de Fibonacci, comme dans l'image ci-dessous. Par exemple, une = 8 et b = 5, de sorte que une + b = 13 et les ratios donnent: 1.6180339887498948420… Le rectangle d'or est considéré comme l'une des formes géométriques les plus satisfaisantes visuellement et il est couramment utilisé dans l'art, en particulier dans les peintures et sculptures de la Renaissance.

Léonard de Vinci a utilisé le nombre d'or dans les proportions de sa «Dernière Cène», de son «Homme de Vitruve» et de la «Joconde». Michel-Ange, Raphael, Rembrandt, Georges Seurat et Salvador Dali ont également incorporé le nombre d'or dans leurs œuvres.

Le nombre d'or peut peut-être même être vu dans la grande pyramide de Gizeh, où la longueur de chaque côté de la base de la pyramide est de 756 pieds et sa hauteur de 481 pieds. Le rapport de la base à la hauteur est à peu près 1.5717, qui est proche du Golden Ratio.

Le sculpteur grec ancien Phidias (500 av.J.-C. - 432 av.J.-C.) aurait appliqué le phi à la conception des sculptures qu'il a créées pour le Parthénon. Platon (428 av.J.-C. - 347 av.J.-C.) célébra le nombre d'or, et Euclide (365 av.J.-C. - 300 av.

dans le Années 1970, Le physicien britannique Roger Penrose a inclus le nombre d'or dans ses carreaux de Penrose, ce qui permettait aux surfaces d'être carrelées en cinq fois la symétrie. dans le Années 1980, le phi a été théorisé comme étant apparu sous forme de quasi-cristaux, une forme de matière alors nouvellement découverte.

La beauté et le Nautilus

Des études ont montré que lorsque les sujets testés regardent une série de visages, ceux qu'ils jugent les plus attrayants ont des proportions de Golden Ratio entre la largeur du visage et la largeur des yeux, du nez et des sourcils.

La spirale dorée se trouve fréquemment dans les plantes, probablement parce que, pour que les plantes maximisent l'exposition de leurs feuilles au soleil, elles doivent les faire pousser à des angles non répétés. Le moyen le plus simple de garantir cela est d'avoir une valeur irrationnelle pour le nombre de feuilles, et bon nombre des spirales que nous voyons dans la nature sont une conséquence de ce comportement. Les distributions suivent des spirales logarithmiques, la forme mathématique générale d'une spirale d'or.

Enfin, avez-vous déjà remarqué que les couvertures de nombreux manuels de mathématiques du secondaire affichent une coquille de nautile? La coquille peut être décrite comme ayant une spirale qui se dilate du nombre d'or tous les 180 degrés. Bien que ce ne soit qu'une approximation, il est souvent cité comme un signe de l'apparition du nombre d'or dans la nature, et c'est pourquoi il figure sur la couverture des manuels de mathématiques.


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